Question

已知曲線C：xy＝1，過C上一點An(xn，yn)作一斜率為kn＝－的直線交曲線C于另一點An＋1(xn＋1，yn＋1)，點列{An}的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn}，其中x1＝.

(1)求xn與xn＋1的關(guān)系式；

(2)令bn＝＋，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

(3)若cn＝3n－λbn(λ為非零整數(shù)，n∈N*)，試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立．

Answer 1

(3)由(2)知，bn＝(－2)n，要使cn＋1>cn恒成立，由cn＋1－cn＝[3n＋1－λ(－2)n＋1]－[3n－λ(－2)n]＝2·3n＋3λ(－2)n>0恒成立，

即(－1)nλ>－n－1恒成立．

①當(dāng)n為奇數(shù)時，即λ<n－1恒成立．

又n－1的最小值為1，∴λ<1.

②當(dāng)n為偶數(shù)時，即λ>－n－1恒成立，

又－n－1的最大值為－，∴λ>－，

即－<λ<1.又λ為非零整數(shù)，

∴λ＝－1，使得對任意n∈N*，都有cn＋1>cn.