Question

如圖，已知點F為拋物線C₁：y²=4x的焦點，過點F任作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，分別交拋物線C₁于A，C，B，D四點，E，G分別為AC，BD的中點．
（Ⅰ）當(dāng)直線AC的斜率為2時，求直線EG的方程；
（Ⅱ）直線EG是否過定點？若過，求出該定點；若不過，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）F（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），當(dāng)直線AC的斜率為2時，直線AC的方程為x=

1

2

y+1，代入拋物線C₁的方程，得y²-2y-4=0，求出AC的中點坐標(biāo)E（

3

2

，1），同理得BD的中點坐標(biāo)為G（9，-4），由此能求出直線EG的方程．
（Ⅱ）直線EG過定點（3，0），設(shè)A（x₃，y₃），C（x₄，y₄），直線AC的方程為x=my+1，代入拋物線C₁的方程，得y²-4my-4=0，由此能求出直線過定點H（3，0）．

解答： 解：（Ⅰ）∵F為拋物線C₁：y²=4x的焦點，∴F（1，0），
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），當(dāng)直線AC的斜率為2時，
直線AC的方程為x=

1

2

y+1，
代入拋物線C₁的方程，得y²-2y-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則y₁+y₂=2，∴x1+x2=(

1

2

y1+1)+(

1

2

y2+1)=3，
∴AC的中點坐標(biāo)E（

3

2

，1），
由AC⊥BD，得直線BD的方程為x=-2y+1，
同理，得BD的中點坐標(biāo)為G（9，-4），
由E（

3

2

，1），G（9，-4）得直線EG的方程為2x+3y-6=0．
（Ⅱ）直線EG過定點（3，0），設(shè)A（x₃，y₃），C（x₄，y₄），
直線AC的方程為x=my+1，代入拋物線C₁的方程，得y²-4my-4=0，
則y₃+y₄=4m，
∴x3+x4=my3+1+my4+1=4m2+2，
∴AC的中點坐標(biāo)為E（2m²+1，2m），
由AC⊥BD，得BD的中點坐標(biāo)為G（

2

m2

+1，-

2

m

），
令2m²+1=

2

m2

+1，得m²=1，此時2m²+1=

2

m2

+1=3，
故直線過點H（3，0），
當(dāng)m²≠1時，kHE=

2m-0

2m2+1-3

=

m

m2-1

，
同理kHG=

- 2 m -0

2 m2 +1-3

=

m

m2-1

，
∴k_HE=k_HG，
∴E，H，G三點共線，
故直線過定點H（3，0）．

點評：本題考查直線方程的求法，考查直線是否過定點坐標(biāo)的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意中點坐標(biāo)公式的合理運用．