Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+x-1）e^x，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=-1時取極值，求a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=xe^x（ax+2a+1）；令f′（-1）=-e^-1（-a+2a+1）=0，從而解得；
（2）由（1）知，f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=xe^x（ax+2a+1）；分類討論以確定導數(shù)的正負，從而確定函數(shù)的單調性．

解答： 解：（1）f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=xe^x（ax+2a+1）；
則f′（-1）=-e^-1（-a+2a+1）=0，解得，a=-1；
故a=-1時，
f′（x）=-xe^x（x+1）；
經檢驗在x=-1處有極小值．
（2）①當a=0時，f′（x）=xe^x，
當x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0，
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當2a+1=0，即a=-

1

2

時，f′（x）=-

1

2

x²e^x≤0，
故f（x）在R上是減函數(shù)；
③當a＞0時，f′（x）=axe^x（x+

2a+1

a

）；
當x∈（-

2a+1

a

，0）時，f′（x）＜0，
當x∈（-∞，-

2a+1

a

），（0，+∞）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（-

2a+1

a

，0）上是減函數(shù)，在（-∞，-

2a+1

a

），（0，+∞）上是增函數(shù)；
④當-

1

2

＜a＜0時，f′（x）=axe^x（x+

2a+1

a

）；
當x∈（0，-

2a+1

a

）時，f′（x）＞0，
當x∈（-∞，0），（-

2a+1

a

，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，0），（-

2a+1

a

，+∞）上是減函數(shù)，在（0，-

2a+1

a

）上是增函數(shù)；
⑤當a＜-

1

2

時，f′（x）=axe^x（x+

2a+1

a

）；
當x∈（-

2a+1

a

，0）時，f′（x）＞0，
當x∈（-∞，-

2a+1

a

），（0，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）在（-

2a+1

a

，0）上是增函數(shù)，在（-∞，-

2a+1

a

），（0，+∞）上是減函數(shù)．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，同時重點考查了分類討論的應用，屬于中檔題．