Question

已知平面向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（2sinx，-2cosx），

c

=

a

+m

b

，

d

=cos2x•

a

+sinx•

b

，f（x）=

c

•

d

，x∈R．
（1）當(dāng)m=2時，求y=f（x）的取值范圍；
（2）若f（x）的最大值是7，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式求得f（x）═-2（sinx-m）²+1+2m²．令t=sinx，則-1≤t≤1，則f（x）=h（t）=-2（t-m）²+1+2m²．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得
f（x）=h（t）的范圍．
（2）分對稱軸t=m在區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況，分別根據(jù)最大值為7求得m的值，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意知|

a

|=1，|

b

|=2，

a

•

b

=0，f(x)=

c

•

d

=cos2x

a

2+msinx

b

2=cos2x+4msinx=-2sin2x+4msinx+1=-2（sinx-m）²+1+2m²．
令t=sinx，則-1≤t≤1，則f（x）=h（t）=-2（t-m）²+1+2m²．
當(dāng)m=2時，h（t）=-2（t-2）²+9在[-1，1]上遞增，則h（t）∈[h（-1），h（1）]，即h（t）的范圍[-9，7]；
（2）①當(dāng)m＜-1時，h（t）=-2（t-m）²+1+2m²在[-1，1]上單調(diào)遞減，h（t）_max=h（-1）=-4m-1；-4m-1=7，所以m=-2滿足條件；
②當(dāng)-1≤m≤1時，h（t）=-2（t-m）²+1+2m²在[-1，1]上先增后減，h(t)max=h(m)=2m2+1；2m²+1=7，則m=±

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不滿足條件；
③當(dāng)m＞1時，h（t）=-2（t-m）²+1+2m²在[-1，1]上單調(diào)遞增，h（t）_max=h（1）=4m-1；4m-1=7，所以m=2滿足條件；
綜上，m=±2．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式、二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．