Question

2．在極坐標(biāo)系中，曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=$\frac{24}{4cosθ+3sinθ}$，以極點(diǎn)為原點(diǎn)O，極軸為x軸正半軸（兩坐標(biāo)系取相同的單位長度）的直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程與曲線C₂的普通方程；
（2）若用（$\frac{x}{2\sqrt{2}}，\frac{y}{2}$）代換曲線C₂的普通方程中的（x，y）得到曲線C₃的方程，若M，N分別是曲線C₁和曲線C₃上的動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ求出C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程即可；（2）求出C₃的參數(shù)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=$\frac{24}{4cosθ+3sinθ}$，
∴4ρcosθ+3ρsinθ=11，整理得：4x+3y-24=0，
∴C₁的直角坐標(biāo)方程是：4x+3y-24=0；
曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，∴x²+y²=1，
故C₂的普通方程是：x²+y²=1；
（2）用（$\frac{x}{2\sqrt{2}}，\frac{y}{2}$）代換曲線C₂的普通方程中的（x，y），
得到曲線C₃的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
則曲線C₃的參數(shù)方程是：$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，
設(shè)N（2$\sqrt{2}$cosα，2sinα），則點(diǎn)N到曲線C₁的距離是：
d=$\frac{|4×2\sqrt{2}cosα+3×2sinα-24|}{5}$
=$\frac{|2\sqrt{41}sin（α+θ）-24|}{5}$
=$\frac{24-2\sqrt{41}sin（α+θ）}{5}$，
當(dāng)sin（α+θ）=1時(shí)，d有最小值$\frac{24-2\sqrt{41}}{5}$，
故|MN|的最小值是$\frac{24-2\sqrt{41}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程以及參數(shù)方程、普通方程的轉(zhuǎn)化，考查點(diǎn)到直線的距離，是一道中檔題．