Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知（a₂-1）³+2012（a₂-1）=sin

2011π

3

，（a₂₀₁₂-1）³+2012（a₂₀₁₂-1）=cos

2011π

6

，則S₂₀₁₃等于（　　）

• A、2013
• B、4026
• C、0
• D、2013

  3

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：將兩個等式相加，利用立方和公式將得到的等式因式分解，提取公因式得到a₂+a₂₀₁₂的值，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的前n項和公式求出n項和．

解答： 解：（a₂-1）³+2012（a₂-1）=sin

2011π

3

=

3

2

，①
（a₂₀₁₂-1）³+2012（a₂₀₁₂-1）=cos

2011π

6

=-

3

2

，②
①+②得，
（a₂-1）³+2011（a₂-1）+（a₂₀₁₂-1）³+2012（a₂₀₁₂-1）=0，
即（a₂-1+a₂₀₁₂-1）[（a₂-1）²-（a₂-1）（（a₂₀₁₂-1）+（a₂₀₁₂-1）²]+2012（a₂-1+a₂₀₁₂-1）=0，
∴a₂-1+a₂₀₁₂-1=0，
即a₂+a₂₀₁₂=2，{a_n}為等差數(shù)列，前n項和為S_n，
∴S₂₀₁₃=

a1+a2013

2

×2013=

a2+a2012

2

×2013=2013，
故選：A．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的前n項和，根據(jù)條件求出a₂+a₂₀₁₂=2是解決本題的關(guān)鍵．