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13.某品牌的汽車4S店,對最近100例分期付款購車情況進(jìn)行統(tǒng)計,統(tǒng)計結(jié)果如表所示,已知分9期付款的頻率為0.4;該店經(jīng)銷一輛該品牌的汽車.若顧客分3期付款,其利潤為1萬元;分6期或9期付款,其利潤為2萬元;分12期付款,其利潤為3萬元.
 付款方式分3期 分6期 分9期 分12期 
 頻數(shù)20 20 
(1)若以表中計算出的頻率近似替代概率,從該店采用分期付款購車的顧客(數(shù)量較大)中隨機(jī)抽取3位顧客,求事件A:“至多有1位采用分6期付款”的概率P(A);
(2)按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽出5人,再從抽出的5人中隨機(jī)抽取3人,記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機(jī)變量η,求η的分布列及數(shù)學(xué)期望E(η).

分析 (1)由a100=0.4,得a=40,20+a+20+b=100,解得b.記分期付款的期數(shù)為ξ,依題意即可得出其概率.進(jìn)而定點(diǎn)“購買該品牌汽車的3為顧客中至多有1位采用3期付款”的概率P(A).
(2)按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽出5人,則顧客分3期付款與分6期付款的各為1人,分9期付款的為2人,分12期付款為1人.則η的可能取值為5,6,7.利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計算公式可得其概率,進(jìn)而得到分布列與數(shù)學(xué)期望.

解答 解:(1)由a100=0.4,得a=40,
∵20+a+20+b=100,∴b=20
記分期付款的期數(shù)為ξ,依題意得:
P(ξ=3)=20100=0.2,P(ξ=6)=20100=0.2,P(ξ=9)=40100=0.4,P(ξ=12)=20100=0.2.
則“購買該品牌汽車的3為顧客中至多有1位采用3期付款”的概率
P(A)={∁}_{3}^{0}×0.{8}^{3}+{∁}_{3}^{1}×0.{8}^{2}×0.2=0.896.
(2)按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽出5人,則顧客分3期付款與分6期付款的各為1人,分9期付款的為2人,分12期付款為1人.則η的可能取值為5,6,7.
P(η=5)=P(ξ=3)×P(ξ=6)×P(ξ=9)+P(ξ=3)×P(ξ=9)×P(ξ=9)=\frac{{∁}_{1}^{1}×{∁}_{1}^{1}×{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{3}}+\frac{{∁}_{1}^{1}×{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{5}^{3}}=\frac{3}{10}
P(η=6)=P(ξ=3)×P(ξ=6)×P(ξ=12)+P(ξ=6)×P(ξ=9)×P(ξ=9)+P(ξ=3)×P(ξ=9)×P(ξ=12)=\frac{{∁}_{1}^{1}{∁}_{1}^{1}{∁}_{1}^{1}+{∁}_{1}^{1}{∁}_{2}^{2}+{∁}_{1}^{1}{∁}_{2}^{1}{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{5}^{3}}=\frac{4}{10}
P(η=7)=P(ξ=6)×P(ξ=9)×P(ξ=12)+P(ξ=9)×P(ξ=9)×P(ξ=12)=\frac{{∁}_{1}^{1}×{∁}_{2}^{1}×{∁}_{1}^{1}+{∁}_{2}^{2}×{∁}_{1}^{1}}{{∁}_{5}^{3}}=\frac{3}{10}
列表如下:

η567
P0.30.40.3
所以η的數(shù)學(xué)期望E(η)=5×0.3+6×0.4+7×0.3=6(萬元).

點(diǎn)評 本題考查概率與頻率的關(guān)系、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求法、相互獨(dú)立與互斥事件的概率計算公式,考查推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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