Question

已知點P是橢圓

x2

4

+y²=1與雙曲線x²-

y2

2

=1的一個交點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的左右焦點，則cos∠F₁PF₂=

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由橢圓和雙曲線的定義，得到|PF₁|+|PF₂|=4且||PF₁|-|PF₂||=2，聯(lián)解得到|PF₁|²+|PF₂|²=10且2|PF₁|•|PF₂|=6，再算出橢圓的焦距，利用余弦定理加以計算即可算出∠F₁PF₂的余弦值．

解答： 解：根據橢圓的定義，可得|PF₁|+|PF₂|=2a=4…①
由雙曲線的定義，可得||PF₁|-|PF₂||=2a'=2…②
①②聯(lián)解，得|PF₁|²+|PF₂|²=10且2|PF₁|•|PF₂|=6，
又∵點F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，
∴|F₁F₂|=2

3

，可得|F₁F₂|²=12，
△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂=

10-12

6

=-

1

3

故答案為：-

1

3

．

點評：本題在雙曲線與橢圓中，求△F₁PF₂中cos∠F₁PF₂的值．著重考查了橢圓、雙曲線的定義與標準方程和余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．