Question

在直角坐標系 xOy 中，點 P 到兩點 、 的距離之和等于4，設點 P 的軌跡為 C ，直線 y ＝ kx +1與 C 交于 A 、 B 兩點．

（1）寫出 C 的方程；

（2）若 ，求 k 的值；

（3）若點 A 在第一象限，證明當 k ＞0時，恒有 .

Answer 1

（1） 解： 設 P ( x ， y )，由橢圓的定義可知，點 P 的軌跡 C 是以 、 為焦點，長半軸為2的橢圓，它的短半軸 ，

故曲線 C 的方程為 .

（2） 解： 設 A ( x ₁ ， y ₁ )， B ( x ₂ ， y ₂ )，其坐標滿足

消去 y 并整理得( k ² +4) x ² +2 kx －3＝0，

故 ，

若 ，則 x ₁ x ₂ + y ₁ y ₂ ＝0.

而 y ₁ y ₂ ＝ k ² x ₁ x ₂ + k ( x ₁ + x ₂ )+1，

于是 ，

化簡得－4 k ² +1＝0，所以 .

（3）證明：

.

因為點 A 在第一象限，故 x ₁ ＞0.

由 知 x ₂ ＜0，

從而 x ₁ － x ₂ ＞0.

又 k ＞0，故 ，

即在題設條件下，恒有 .