Question

（本小題滿分14分）設(shè)、是焦距為的橢圓的左、右頂點，曲線上的動點滿足，其中，和是分別直線、的斜率．

（1）求曲線的方程；

（2）直線與橢圓只有一個公共點且交曲線于兩點，若以線段為直徑的圓過點，求直線的方程．

Answer 1

（1）；（2）3x＋2y＋5＝0．

【解析】

試題解析：（1）由已知橢圓中，，∴，解得a＝2，

所以 A，B的坐標(biāo)為 A（1,0）, B（1,0） ． 2 分

設(shè)P（x, y），則由已知可得，即，

所以曲線的方程為． 5 分

（2）若直線MN 垂直x軸，則與曲線只有一個交點，與題意不符，所以直線MN 存

在斜率，故設(shè)直線MN 的方程為：y＝kx＋m， 6 分

代入橢圓方程整理，得，

由題意可得直線與橢圓相切，故 ，

即 ① 7 分

將y＝kx＋m代入，整理得，

設(shè)，則 ②

且， 8 分

故?

? 10 分

由以線段MN 為直徑的圓過點B，所以BM⊥BN ，得m－k＝－1 ③ 12分

由①③解得，經(jīng)檢驗滿足條件②

所以存在直線MN 滿足條件，其方程為3x＋2y＋5＝0． 14 分

考點：考查求曲線的方程，直線與圓，直線與拋物線的位置關(guān)系．