Question

已知函數(shù)f(x)＝ax²－e^x(a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．

(1)解關(guān)于x的不等式：f(x)>f′(x)；

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝2ax－e^x，

f(x)－f′(x)＝ax(x－2)>0.

當(dāng)a＝0時(shí)，無解；

當(dāng)a>0時(shí)，解集為{x|x<0或x>2}；

當(dāng)a<0時(shí)，解集為{x|0<x<2}．

(2)設(shè)g(x)＝f′(x)＝2ax－e^x，

則x₁，x₂是方程g(x)＝0的兩個(gè)根．

g′(x)＝2a－e^x，

當(dāng)a≤0時(shí)，g′(x)<0恒成立，g(x)單調(diào)遞減，方程g(x)＝0不可能有兩個(gè)根；

當(dāng)a>0時(shí)，由g′(x)＝0，得x＝ln 2a，

當(dāng)x∈(－∞，ln 2a)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(ln 2a，＋∞)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減．

∴當(dāng)g(x)_max>0時(shí)，方程g(x)＝0才有兩個(gè)根，∴g(x)_max＝g(ln 2a)＝2aln 2a－2a>0，得a>.