Question

已知函數f（x）=cosx•sin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

，x∈R則f（x）在閉區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值分別為

 

．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：由三角函數中的恒等變換應用化簡函數解析式可得f（x）=

1

2

sin（2x-

π

3

），又x∈[-

π

4

，

π

4

]，可得2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，根據正弦函數的性質即可得解．

解答： 解：∵f（x）=cosx•sin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

=cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

cos²x+

3

4

=

1

2

sinxcosx+

3

2

cos²x-

3

cos²x+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

2

×

1+cos2x

2

+

3

4

=

1

2

sin（2x-

π

3

），
又∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，
∴當2x-

π

3

=-

π

2

，即x=-

π

12

時，f（x）_min=-

1

2

，
當2x-

π

3

=

π

6

，即x=

π

4

時，f（x）_min=

1

4

，
故答案為：

1

4

、-

1

2

．

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的最值的解法，屬于基本知識的考查．