Question

（本小題滿分12分）

如圖橢圓的右頂點(diǎn)是，上下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，四邊形是矩形（為原點(diǎn)），點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上；

（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)（不共線），

問：直線是否經(jīng)過軸上一定點(diǎn)，如果是，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不是，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）直線經(jīng)過軸上的點(diǎn)

【解析】（1）易求A、B、D、E、M的坐標(biāo)，然后求出DE、BM的方程，兩直線方程聯(lián)立解方程組可求出其交點(diǎn).再驗(yàn)證交點(diǎn)坐標(biāo)滿足橢圓方程，從而證明交點(diǎn)在橢圓上.

（2）先設(shè)出RS的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消y后得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)R、S的坐標(biāo)，表示出SK的方程，令y=0得到它與x軸的交點(diǎn)的模坐標(biāo)，然后再借助直線RS的方程和韋達(dá)定理，證明x的值是常數(shù)即可.

解：（1）由題意，得，

所以直線的方程，直線的方程為，------2分

由，得，

所以直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，---------------4分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415445501183493/SYS201208241545293827916194_DA.files/image013.png">，所以點(diǎn)在橢圓上．---------6分

（2）設(shè)的方程為，代入，

得，

設(shè)，則，

 ，

直線的方程為，

令得，

將，代入上式得，設(shè)，

所以直線經(jīng)過軸上的點(diǎn)．---------12分