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9.如圖,四棱錐P-ABCD中,O為AD的中點,AD∥BC,CD⊥平面PAD,PA=PD=5.
(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若AD=8,BC=4,CD=3,求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值.

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出PO⊥AD,CD⊥PO,由此能證明PO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)連接OB,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OB,OD,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值.

解答 證明:(Ⅰ)△PAD中,∵PA=PD,且O為AD的中點,∴PO⊥AD,(1分)
∵CD⊥平面PAD,OP?平面PAD,∴CD⊥PO,(2分)
∵AD?平面ABCD,CD?平面ABCD,AD∩CD=D,(3分)
∴PO⊥平面ABCD.(4分)
解:(Ⅱ)∵CD⊥平面PAD,AD?平面PAD,∴CD⊥AD,
連接OB,∵BC∥OD且BC=OD=4,
∴OB∥AD,∴OB⊥AD;(5分)
以O(shè)為坐標(biāo)原點,OB,OD,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,-4,0),B(3,0,0),C(3,4,0),D(0,4,0),P(0,0,3),(6分)
AB=(3,4,0),AP=(0,4,3),CD=(3,0,0),DP=(0,-4,3),
設(shè)平面PCD的法向量為m=(x,y,z),
{mCD=3x=0mDP=4y+3z=0,令y=3,得m=(0,3,4),(8分)
設(shè)平面ABP的法向量為n=(x,y,z),
{nAB=3x+4y=0nAP=4y+3z=0,令x=4,則n=(4,-3,4),(10分)
設(shè)平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為α,
則cosα=|mn||m||n|=7541=741205,(11分)
∴平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值為741205.(12分)

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì),考查利用空間向量求二面角的大�。豢疾檫壿嬐评砼c空間想象能力,運算求解能力;考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化思想.

練習(xí)冊系列答案
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