Question

如圖，橢圓C：的左頂點為A，M是橢圓C上異于點A的任意一點，點P與點A關(guān)于點M對稱.

（1）若點P的坐標(biāo)，求m的值；

（2）若橢圓C上存在點M，使得，求m的取值范圍.

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：

（1）根據(jù)m的取值范圍可以判斷橢圓C的焦點，得到點A的坐標(biāo)，則根據(jù)點與點的中點坐標(biāo)公式可以用點P,A的坐標(biāo)計算得到點M的坐標(biāo)，把M點的坐標(biāo)帶入橢圓即可求的m的值.

（2）從題得A,P關(guān)于M對稱，則可以設(shè)出M點的坐標(biāo)，得到P點的坐標(biāo)(中點的坐標(biāo)公式)，因為OM與OP垂直，則根據(jù)向量的內(nèi)積為0可以得到關(guān)于M點坐標(biāo)的方程，則把該方程與M點滿足的橢圓方程聯(lián)立消縱坐標(biāo)即可求出m關(guān)于M點橫坐標(biāo)的方程，再利用基本不等式就可以求出m的取值范圍(注意取得等號條件的驗證與m值本身具有正數(shù)的范圍)

試題解析：

（1）依題意，是線段的中點，因為，

所以點的坐標(biāo)為． 2分

由點在橢圓上，所以，解得． 4分

（2）設(shè)，則，且．① 5分

因為是線段的中點，所以． 7分

因為，所以．② 9分

由①，②消去，整理得． 11分

所以， 13分

當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立．

所以的取值范圍是． 14分

考點：橢圓幾何性質(zhì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程不等式