Question

如圖，在三菱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁B₁B為矩形，平面AA₁B₁B⊥平面ABC．∠ABC=90°，AB=BC=

1

2

AA₁=1，點F為AC的中點，點E為AA₁上一點．
（1）求證：平面BEF⊥平面AA₁C₁C；
（2）當AE的長為何值時，二面角A₁-C₁E-B₁為60°？

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導出BF⊥AC，BF⊥AA₁，由此能證明平面BEF⊥平面AA₁C₁C．
（2）以B為原點，以BA為x軸，以BB₁為y軸，以BC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當AE=

1

2

AA1=1時，二面角A₁-C₁E-B₁為60°．

解答： （1）證明：∵在三菱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁B₁B為矩形，
平面AA₁B₁B⊥平面ABC．∠ABC=90°，
∴BF⊥AC，
又∵AA₁⊥平面ABC，BF?平面ABC，
∴BF⊥AA₁，
∵AC∩AA₁=A，∴BF⊥平面AA₁C₁C，
∵BF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面AA₁C₁C．
（2）解：以B為原點，以BA為x軸，以BB₁為y軸，以BC為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AB=BC=

1

2

AA₁=1，點F為AC的中點，點E為AA₁上一點
∴設AE=λAA₁時，二面角A₁-C₁E-B₁為60°．
A（1，0，0），A₁（1，2，0），則E（1，2λ，0），C₁（0，2，1），B₁（0，2，0），
∴

C1A1

=（1，0，-1），

C1E

=（1，2λ-2，-1），

C1B1

=（0，0，-1），
設平面C₁A₁E的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • C1A1 =x-z=0 n • C1E =x+(2λ-2)y-z=0

，取x=1，得

n

=(1，0，1)，
設平面C₁EB₁的法向量

m

=(a，b，c)，
則

m • C1E =a+(2λ-2)b-c=0 m • C1B1 =-c=0

，取a=1，得

m

=(1，

1

2-2λ

，0)，
∵二面角A₁-C₁E-B₁為60°，
∴cos60°=

1

2 • 1+( 1 2-2λ )2

，解得λ=

1

2

或λ=

3

2

（舍），
∴當AE=

1

2

AA1=1時，二面角A₁-C₁E-B₁為60°．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角為60°時點的位置的確定，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．