設(shè)函數(shù)，。

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）（i）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，證明：當(dāng)時，在上恰有一個使得；

（ii）求實數(shù)的取值范圍，使得對任意的，恒有成立。

注：為自然對數(shù)的底數(shù)。

 

【答案】

（1）的減區(qū)間是；增區(qū)間是 

（2）在上恰有一個使得.

（ⅱ）。

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時，   1分

當(dāng)時，；當(dāng)時，

所以函數(shù)的減區(qū)間是；增區(qū)間是      3分

（2）（�。�   4分

當(dāng)時，；當(dāng)時，

因為，所以函數(shù)在上遞減；在上遞增    6分

又因為，

所以在上恰有一個使得.    8分

（ⅱ）若，可得在時，，從而在內(nèi)單調(diào)遞增，而，

，不符題意。       

由（�。┲�在遞減，遞增，

設(shè)在上最大值為則，

若對任意的，恒有成立，則，    11分

由得，，

又，。    13

考點：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，恒成立問題。

點評：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，首先通過求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)數(shù)值的正負情況，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間。應(yīng)用同樣的方法，研究函數(shù)圖象的形態(tài)，明確方程解的情況。作為“恒成立問題”往往轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=x2ex-1-
1
3
x3-x2(x∈R)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值；
（3）當(dāng)x∈（1，+∞）時，用數(shù)學(xué)歸納法證明：?n∈N*，ex-1＞
xn
n!
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
x
x+1
(x＞0)，觀察：f1(x)=f(x)=
x
x+1
，f2(x)=f(f1(x))=
x
2x+1
，f3(x)=f(f2(x))=
x
3x+1
，f4(x)=f(f3(x))=
x
4x+1
，根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N+且n≥2時，fn（x）=f（fn-1（x））=
x
nx+1
x
nx+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且b2+c2-a2=bc．向量
m
=(
3
sin
x
2
，1)  ，
n
=(cos
x
2
，cos2
x
2
)
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)=
m
•
n
，當(dāng)f（B）取最大值
3
2
時，判斷△ABC的形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+1
-ax，其中a＞0．
（1）解不等式f（x）≤1
（2）求證：當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)
（3）求使f（x）＞0對一切x∈R*恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
a
3
x3+
1-a
2
x2-x，a∈R．
（1）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)a≠-1時，求函數(shù)f（x）的極小值．

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