Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-a（x+1），在x=ln2處的切線的斜率為1．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對于任意x∈[0，+∞）時，f（x）≥mx²恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系求得a，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得最小值；
（2）令g（x）=f（x）-mx²，利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的最小值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-a（x+1），
∴f′（x）=e^x-a，
∵函數(shù)f（x）=e^x-a（x+1）在x=ln2處的切線的斜率為1，
∴f′（ln2）=2-a=1，
∴a=1，
∴f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，
∴x＜0時，f′（x）＜0，x＞0時，f′（x）＞0，
∴x=0時，函數(shù)有極小值，即為最小值，最小值為0；
（2）令g（x）=f（x）-mx²，則g′（x）=e^x-1-2mx，
設(shè)h（x）=g′（x）=e^x-1-2mx，則h′（x）=e^x-2m，
①m≤

1

2

時，h′（x）≥0，h（x）≥h（0）=0，∴g′（x）≥0，∴g（x）≥g（0）=0，滿足題意；
②m＞

1

2

時，h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)，h（x）≤h（0）=0，∴g（x）是減函數(shù)，
∴g（ln2m）≤g（0）=0，不滿足題意．
則實數(shù)m的取值范圍是：（-∞，

1

2

]．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線問題、研究函數(shù)的單調(diào)性最值等知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．