Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，短軸上端點為B，△BF₁F₂為等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）設過點F₂的直線l交橢圓C于P、Q兩點，若△F₁ PQ面積的最大值為6，求橢圓C的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題得a=2c，由此能求出橢圓C的離心率．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線PQ方程：x=ty+c，聯(lián)立

x=ty+c b2x2+a2y2=a2b2

，得（a²+b²t²）y²+2b²cty-b⁴=0，由此能求出橢圓C的方程．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題得BF₂=2OF₂，即a=2c，
∴e=

1

2

…（4分）
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線PQ方程：x=ty+c，
聯(lián)立

x=ty+c b2x2+a2y2=a2b2

，
得（a²+b²t²）y²+2b²cty-b⁴=0，
∴y1+y2=-

2b2ct

a2+b2t2

，y1y2=-

b4

a2+b2t2

…（7分）S=

1

2

•2c•|y1-y2|=c

4b4c2t2 (a2+b2t2)2 + 4b4 a2+b2t2

=

2ab2c 1+t2

a2+b2t2

，
令u=

1+t2

≥1，S=

2ab2cu

a2+b2(u2-1)

=

2ab2c

c2 u +b2u

≤

2ab2c

a2

=b2，
其中等號成立時u=1，
∴b²=6，a²=8，
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

6

=1．…（12分）

點評：本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．