Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

cos2x，x∈R，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足2bcosA=2c-

3

a，求f（B）的值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質,解三角形

分析：（1）運用二倍角的正弦公式和兩角差的正弦公式，化簡f（x），再由周期公式和正弦函數(shù)的單調區(qū)間，即可得到；
（2）運用正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡即可得到B，再由（1），即可得到f（B）的值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
則函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

＜2x-

π

6

＜2kπ+

π

2

，得到kπ-

π

6

＜x＜kπ+

π

3

，k為整數(shù)，
由2kπ+

π

2

＜2x-

π

6

＜2kπ+

3π

2

，得到kπ+

π

3

＜x＜kπ+

5π

6

，k為整數(shù)．
則單調增區(qū)間為（kπ-

π

6

，kπ+

π

3

），k為整數(shù)，
單調減區(qū)間為（kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

），k為整數(shù)．
（2）由于2bcosA=2c-

3

a，
則由正弦定理得，2sinBcosA=2sinC-

3

sinA
=2sin（A+B）-

3

sinA=2sinAcosB+2cosAsinB-

3

sinA，
則有2cosB=

3

，B為三角形的內角，則B=

π

3

，
故f（B）=sin（

2π

3

-

π

6

）=sin

π

2

=1．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查三角函數(shù)的周期性和單調性，考查解三角形的正弦定理，考查運算能力，屬于中檔題．