Question

7．定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x+3）=2f（x），當(dāng)x∈[-1，2）時(shí)，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+x，x∈[-1，0）}\\{-{{（\frac{1}{2}）}^{|x-1|}}，x∈[0，2）}\end{array}}$．
若存在x∈[-4，-1），使得不等式t²-3t≥4f（x）成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，1]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論分段函數(shù)的兩段的最小值，再由f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+3），由圖象左右平移可知，函數(shù)的最值不變，可得x∈[-4，-1），f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$，由題意可得t²-3t≥-2，解不等式即可得到所求t的范圍．

解答 解：當(dāng)x∈[-1，2）時(shí)，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+x，x∈[-1，0）}\\{-{{（\frac{1}{2}）}^{|x-1|}}，x∈[0，2）}\end{array}}$．
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，僅有x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，取得最小值-$\frac{1}{4}$；
當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=-（$\frac{1}{2}$）^|x-1|∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，
可得x=1時(shí)，取得最小值-1；
則當(dāng)x∈[-1，2）時(shí)，f（x）的最小值為-1．
當(dāng)x∈[-4，-1），x+3∈[-1，2），
由f（x+3）=2f（x），可得
f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+3），由圖象左右平移可知，函數(shù)的最值不變，
可得此時(shí)f（x）的最小值為-$\frac{1}{2}$，
由存在x∈[-4，-1），使得不等式t²-3t≥4f（x）成立，
可得t²-3t≥4f（x）的最小值，即為t²-3t≥-2，
解得t≥2或t≤1，
故答案為：（-∞，1]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查不等式的存在性問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查分段函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．