Question

(本小題14分) 已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義在R上的奇函數(shù)，且x=-1時，函數(shù)取極值1。

（1）求a，b，c的值；

（2）若x₁，x₂∈[-1，1]，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤2；

（3）求證：曲線y=f（x）上不存在兩個不同的點A，B，使過A， B兩點的切線都垂直于直線AB。

 

Answer 1

【答案】

（1），b=0

（2）因為，那么可以運用函數(shù)單調(diào)性放縮來得到解決問題。

（3）對于探索性試題的分析，假設(shè)存在，然后根據(jù)過A，B兩點的切線平行，得到斜率相等，同時根據(jù)過A，B兩點的切線都垂直于直線AB

，則斜率之積為-1，得到方程，通過方程無解說明假設(shè)不成立，進而得到證明。

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，

∴即對于恒成立，

∴b=0

∴

∵x=-1時，函數(shù)取極值1，∴3a+c=0，-a-c=1

解得：

（2）

＜0，∴

（3）設(shè)

∵過A，B兩點的切線平行，

∴可得

∵，∴，則

由于過A點的切線垂直于直線AB，

∴

∴∵△=-12＜0

∴關(guān)于x₁的方程無解。

∴曲線上不存在兩個不同的點A，B，過A，B兩點的切線都垂直于直線AB

考點：本試題考查了導數(shù)的運用。

點評：運用導數(shù)研究函數(shù)的問題主要涉及到了函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值以及最值問題，那么同時要熟練的掌握導數(shù)的幾何意義表示切線方程。而對于不等式的恒成立問題，一般將其轉(zhuǎn)換為分離參數(shù)的思想來求解不等式的成立，主要是通過最值來完成證明，屬于中檔題。