Question

（本小題滿分14分）已知， 若函數在上的最大值為，最小值為， 令.

（1）求的表達式;

（2）若關于的方程有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）實數的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）這是區(qū)間定軸變的二次函數的最值題型，所給二次函數的對稱軸為，根據，可知對稱軸，因為即涉及二次函數的最大值與最小值，故分，兩種情況進行討論，結合二次函數的圖像確定最值，進而可求出的表達式；（2）根據（1）中確定的的表達式，先用證明函數單調性的方法證明函數在上單調遞減，在上單調遞增，進而確定函數的值域，而關于的方程有解等價于有解，即在的值域就是的取值范圍，問題得以解決.

試題解析：(1) 1分

∵，∴

①當，即時，則時，函數取得最大值;時，函數取得最小值.

∴，

∴ 3分

②當，即時，則時，函數取得最大值;時，函數取得最小值.

∴，

∴. 5分

綜上，得 6分

（2）任取，且

7分

∵，且

∴

∴，即

∴

∴函數在上單調遞減 8分

任取，且

9分

∵，且

∴

∴，即

∴

∴函數在上單調遞增 10分

當時，取得最小值，其值為 11分

又，

∴函數的值域為 12分

∵關于的方程有解等價于有解

∴實數的取值范圍為函數的值域 13分

∴實數的取值范圍為 14分.

考點：1.二次函數的圖像與性質；2.函數與方程；3.分類討論的思想.