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8.在△ABC中,角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,且cos2B-cos2A=2sinC•(sinA-sinC).
(1)求角B的大��;
(2)若b=3,求2a+c的取值范圍.

分析 (1)由已知可得sin2A+sin2B-sin2C=sinA•sinC.即a2+c2-b2=ac,cosB=a2+c2b22ac=12,可得B=\frac{π}{3}
(2)2a+c=2R(2sinA+sinC)=5sinA+\sqrt{3}cosA=2\sqrt{7}sin(A+φ)
其中,sinφ=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}},cosφ=\frac{5}{2\sqrt{7}},φ∈(0,\frac{π}{3})
A+φ∈(φ,\frac{2π}{3}+φ),得2\sqrt{7}sin(A+φ)∈(\sqrt{3},2\sqrt{7}].即2a+c∈(\sqrt{3},2\sqrt{7}]

解答 解:(1)由cos2B-cos2A=2sinC•(sinA-sinC),可得sin2A+sin2B-sin2C=sinA•sinC.
根據(jù)正弦定理得a2+c2-b2=ac,
由余弦定理,得cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2},∵0<B<π,∴B=\frac{π}{3}
(2)由(1)得:2R=\frac{sinB}=2,
2a+c=2R(2sinA+sinC)=2[2sinA+sin(\frac{2π}{3}-A)]=5sinA+\sqrt{3}cosA=2\sqrt{7}sin(A+φ)
其中,sinφ=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}},cosφ=\frac{5}{2\sqrt{7}}φ∈(0,\frac{π}{3})
∵A∈(0,\frac{2π}{3}),∴A+φ∈(φ,\frac{2π}{3}+φ),
∴當(dāng)A+φ=\frac{π}{2}時,{(2a+c)_{max}}=2\sqrt{7},
當(dāng)A+φ=\frac{2π}{3}+φ時,(2a+c)=2\sqrt{3},
當(dāng)A+φ=φ時,(2a+c)=\sqrt{3}.所以2\sqrt{7}sin(A+φ)∈(\sqrt{3},2\sqrt{7}].
2a+c∈(\sqrt{3},2\sqrt{7}]

點評 本題考查了三角恒等變形,正余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.

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( I)求∠C的大�。�
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