Question

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁，右焦點為F₂，離心率為

3

2

，過F₁的直線交橢圓于A，B兩點，△ABF₂的周長為8．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與橢圓E的右準線交于點Q，問在x軸上是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出M的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由△ABF₂的周長為8，得4a=8，由離心率為

3

2

，得

c

a

=

3

2

，由此能求出橢圓E的方程．
（2）由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得方程（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由直線與橢圓相切，得4k²-m²+1=0，從而得P（-

4k

m

，

1

m

），Q（

4

3

，

4k

3

+m），由此能推導出存在定點M（

3

，0），使得以PQ為直徑的圓恒過定點M．

解答： 解：（1）由△ABF₂的周長為8，得4a=8，解得a=2，
由離心率為

3

2

，得

c

a

=

3

2

，解得c=

3

，
∴b²=4-3=1，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得方程（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
由直線與橢圓相切，得△=0，
∴4k²-m²+1=0，
求得P（-

4k

m

，

1

m

），橢圓E的右準線為x=

4

3

，
∴Q（

4

3

，

4k

3

+m），
假設平面內(nèi)存在定點M滿足條件，
設點M坐標為M（x₁，0），

MP

=（-

4k

m

-x1，

1

m

），

MQ

=（

4

3

-x1，

4k

3

+m），
由

MP

•

MQ

=0，得（-

4k

m

-x1）（

4

3

-x1）+

1

m

(

4k

3

+m)=0，
∴

4k

m

(x1-

3

)+x12-

4

3

3

x1+1=0，
∵x1=

3

時，上式恒成立，
∴存在定點M（

3

，0），使得以PQ為直徑的圓恒過定點M．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．