Question

若a，b，c∈R₊，且滿足a+b+c=2．
（Ⅰ）求abc的最大值；
（Ⅱ）證明：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

9

2

．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式

專題：選作題,不等式

分析：（Ⅰ）利用基本不等式，可求abc的最大值；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可證明．

解答： （Ⅰ）解：因為a，b，c∈R₊，所以2=a+b+c≥3

3	abc

，故abc≤

8

27

．…．（3分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

2

3

時等號成立，所以abc的最大值為

8

27

．…．（4分）
（Ⅱ）證明：因為a，b，c∈R₊，且a+b+c=2，所以根據(jù)柯西不等式，
可得

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

2

（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）  …．（5分）
=

1

2

[(

a

)2+(

b

)2+(

c

)2][(

1 a

)2+(

1 b

)2+(

1 c

)2]≥

1

2

（

a

×

1 a

+

b

×

1 b

+

c

×

1 c

）²=

9

2

．
所以

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

9

2

．…．（7分）

點評：本小題主要考查平均值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．