Question

已知定義在R上的函數f（x），g（x）滿足

f(x)

g(x)

=ax，且f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．若有窮數列{

f(n)

g(n)

}的前n項和為S_n，則滿足不等式S_n＞2015的最小正整數n等于（　�。�

• A、7
• B、8
• C、9
• D、10

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：計算題,函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：首先由已知條件結合導數大于0判斷出a^x為實數集上的增函數，由此得到a＞1，再由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

求出a的值，然后利用等比數列的前n項和公式求解n的值．

解答： 解：由(

f(x)

g(x)

)′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

，
而f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），所以（

f(x)

g(x)

）′＞0，
即函數

f(x)

g(x)

=ax為實數集上的增函數，則a＞1．
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，解得a=2．
則數列{

f(n)

g(n)

}為數列{2ⁿ}，
此數列是以2為首項，以2為公比的等比數列，
由前n項和S_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，
由S_n＞2015，得2ⁿ⁺¹-2＞2015，
由于2¹⁰=1024，2¹¹=2048，
解得最小正整數n=10．
故選D．

點評：本題考查了函數的單調性與導數間的關系，考查了導數的運算法則，訓練了利用等比數列的前n項和公式求值，是中檔題．