Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2Sn=3an-2n，(n∈N*)．
（I） 求證：數(shù)列{1+a_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（II）設(shè)bn=

an

an+1+1

，試比較數(shù)列{b_n}的前n項和Tn與

2n-1

6

的大小關(guān)系．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n=3a_n-1+2，進而可化為，a_n+1=3（a_n-1+1），數(shù)列{1+a_n}是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用（I）可得：bn=

an

an+1+1

=

3n-1

3n+1

=

1

3

-

1

3n+1

，再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出T_n，即可證明不等式．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1=3a_n-2n-3a_n-1+2（n-1）
即n≥2時，a_n=3a_n-1+2
從而有n≥2時，a_n+1=3（a_n-1+1），
又2a₁=2S₁=3a₁-2得a₁=2，故a₁+1=3，
∴數(shù)列{1+a_n}是等比數(shù)列，an+1=3n，即an=3n-1．
（Ⅱ）bn=

an

an+1+1

=

3n-1

3n+1

=

1

3

-

1

3n+1

，
則Tn=

n

3

-(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n+1

)=

n

3

-

1

32

•

1- 1 3n

1- 1 3

=

n

3

-

1

6

(1-

1

3n

)＞

2n-1

6

即Tn＞

2n-1

6

．

點評：本題考查了“當(dāng)n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于難題．