Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax+2，g（x）=a²x²-lnx+2，其中a∈R，x＞0．是否存在負數(shù)a，使f（x）≤g（x）對一切正數(shù)x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在負數(shù)a，使得f（x）≤g（x）對一切正數(shù)x都成立，再設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=ax+lnx-a²x²（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的最大值，最后利用最大值小于等于0解出a的范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=ax+lnx-a²x²（x＞0）
假設(shè)存在負數(shù)a，使得f（x）≤g（x）對一切正數(shù)x都成立．
即：當x＞0時，h（x）的最大值小于等于零．
h′(x)=a+

1

x

-2a2x=

-2a2x2+ax+1

x

(x＞0)（9分）
令h′（x）=0可得：x2=-

1

2a

，x1=

1

a

（舍）（11分）
當0＜x＜-

1

2a

時，h′（x）＞0，h（x）單增；
當x＞-

1

2a

時，h′（x）＜0，h（x）單減，
所以h（x）在x=-

1

2a

處有極大值，也是最大值．
∴h(x)max=h(-

1

2a

)≤0解得：a≤-

1

2

e-

3

4

（13分）
所以負數(shù)a存在，它的取值范圍為a≤-

1

2

e-

3

4

（14分）

點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．