Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²-2x-1．
（1）求f（x）的函數(shù)解析式；
（2）作出函數(shù)f（x）的簡圖，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最值；
（3）當x的方程f（x）=m有四個不同的解時，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當x＜0時，-x＞0，由已知的函數(shù)式，結(jié)合偶函數(shù)的定義，即可得到x＜0的表達式，進而得到f（x）的表達式；
（2）根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，畫出圖象，由圖象即可得到單調(diào)區(qū)間和最值；
（3）x的方程f（x）=m有四個不同的解，即有直線y=m與f（x）的圖象有四個交點，結(jié)合圖象即可得到m的取值范圍．

解答： 解：（1）當x＜0時，-x＞0，
則當x≥0時，f（x）=x²-2x-1，
則f（-x）=（-x）²-2（-x）-1=x²+2x-1，
∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=x²+2x-1，
∴f(x)=

x2-2x-1，x≥0 x2+2x-1，x＜0

；
（2）函數(shù)f（x）的簡圖：
            
則單調(diào)增區(qū)間為[-1，0]和[1，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1]和[0，1]；
當x=1或-1時，f（x）有最小值-2，無最大值；
（3）x的方程f（x）=m有四個不同的解，
即有直線y=m與f（x）的圖象有四個交點，
由圖象可知，m的取值范圍是（-2，-1）．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，注意運用偶函數(shù)的定義，考查函數(shù)的圖象，以及通過圖象觀察得到函數(shù)的性質(zhì)，以及方程根的個數(shù)和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．