Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，PA⊥平面ABCD，PA=2，∠ABC=60°，E、F分別為BC、PD的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）求EF與平面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）四邊形ABCD是一條對(duì)角線AC等于邊長(zhǎng)的菱形，從而△ABC為正三角形，BC邊上的中線AE也是高線，聯(lián)系BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影，從而得到AE與PD垂直；
（2）取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，則FG∥PA，連結(jié)EG，則∠FEG為EF與平面ABCD所成的角，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：由題意知△ABC為正三角形．
∵E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC．
∵BC∥AD，∴AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE．
∵PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD．
∵PD?平面PAD，∴AE⊥PD．…（6分）
（2）解：取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，則FG∥PA．
∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD．
連結(jié)EG，則∠FEG為EF與平面ABCD所成的角．
易知，FG=

1

2

PA=1，EG=AB=2．
在Rt△FEG中，求得tan∠FEG=

FG

EG

=

1

2

．
∴EF與平面ABCD所成的角的正切值為

1

2

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．