Question

在平面直角坐標(biāo)系上，設(shè)不等式組

x＞0且y＞0 y≤-n(x-5)

所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)的整點(diǎn)（即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個數(shù)為a_n（n∈N^*）．則a₁=

 

，經(jīng)推理可得到a₂₀₁₅=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與解析幾何的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)不等式組的解法，分別討論x的取值，解出y的取值范圍即可得到結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)n=1時，不等式為y≤-（x-5）=5-x，
當(dāng)x=1時，y≤4，此時y=1，或y=2，或y=3，或y=4，
當(dāng)x=2時，y≤3，此時y=1，或y=2，或y=3，
當(dāng)x=3時，y≤2，此時y=1，或y=2，
當(dāng)x=4時，y≤1，此時y=1，
當(dāng)x=5時，y≤0，此時不成立，
即a₁=10．
由x＞0，y＞0，5n-nx＞0，
得0＜x＜5，
∴x=1或x=2或x=3或x=4，
因此D_n內(nèi)的整點(diǎn)在直線x=1或x=2或x=3或x=4上，記直線y=5n-nx為l，
l與直線x=1或x=2或x=3或x=4的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別4n，3n，2n，n
∴a_n=4n+3n+2n+n=10n．
∴a₂₀₁₅=20150
故答案為：10，20150．

點(diǎn)評：本題主要考查二元一次不等式組的應(yīng)用，利用不等式的即可求出y的取值范圍．