Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n對?n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；要證明數(shù)列是等差數(shù)列，先根據(jù)s_n-s_n-1=a_n，用作差法得到a_n，a_n-1的關(guān)系，再用定義證明．
（Ⅱ）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n對?n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍，用分離參數(shù)法，因為a_n＞0，所以不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n∴，只要5-λ＞的最大值，即可求出λ的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當n=1時，S₁=2a₁-2²得a₁=4．S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ即a_n=2a_n-1+2ⁿ，
所以．
又，
所以數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即a_n=（n+1）•2ⁿ．
因為a_n＞0，所以不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n等價于
設(shè)，則b₁=-；b₂=；b₃=；…
∴.∴．
點評：本題考查了通項公式與前n項和公式的關(guān)系，等差數(shù)列的定義的應(yīng)用．恒成立問題主要利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求最值問題解決．