Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=t＞1，a_n+1=

n+1

n

a_n．函數(shù)f（x）=ln（1+x）+mx²-x（m∈[0，

1

2

]）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若m=

1

2

，數(shù)列{b_n}滿足b_n=f（a_n）+a_n，求證：

2

an+2

＜

an

bn

＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）將遞推公式化為

an

an-1

=

n

n-1

，利用累積法求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由求導(dǎo)公式函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，化簡(jiǎn)后對(duì)m進(jìn)行分類討論，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）根據(jù)前兩問的結(jié)論，求出b_n和函數(shù)f（x）的范圍，并進(jìn)行轉(zhuǎn)化為新的不等式問題，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，從而證明不等式成立．

解答： 解：（I）∵a_n+1=

n+1

n

a_n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

an

an-1

=

n

n-1

，
∴

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

=

2

1

•

3

2

…

n

n-1

，即

an

a1

=n，
∴a_n=nt，對(duì)n=1也成立，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=nt．…（3分）
（II）∵f（x）=ln（1+x）+mx²-x，
∴f′(x)=

1

1+x

+2mx-1=

2mx2+2mx-x

1+x

=

x(2mx+2m-1)

1+x

（x＞-1），…（4分）
當(dāng)m=0時(shí)，f′(x)=

-x

1+x

，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′(x)=

-x

1+x

＞0；
當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)=

-x

1+x

＜0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，0），減區(qū)間是（0，+∞）；…（5分）
當(dāng)0＜m≤

1

2

時(shí)，令f′（x）=0，解得x₁=0，x2=-

2m-1

2m

=-1+

1

2m

．
當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，x₂＞0，當(dāng)-＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜-1+

1

2m

時(shí)，f′（x）＜0；
x＞-1+

1

2m

時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，0）和（-1+

1

2m

，+∞），減區(qū)間是（0，-1+

1

2m

）；…（6分）
當(dāng)m=

1

2

時(shí)，x1=x2=-

2m-1

2m

=0，f′(x)=

-x

1+x

≥0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞），無(wú)減區(qū)間．…（7分）
綜上所述，當(dāng)m=0時(shí)，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，0），減區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，0）和（-1+

1

2m

，+∞），減區(qū)間是（0，-1+

1

2m

）；
當(dāng)m=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞），無(wú)減區(qū)間．
（III）當(dāng)m=

1

2

時(shí)，f（x）=ln（1+x）+

1

2

x²-x，
∵b_n=f（a_n）+a_n，∴b_n=ln（1+a_n）+

1

2

a_n²．
由a_n=nt得（t＞1），b_n＞0．…（8分）
要證

an

bn

＜1，即證a_n＜b_n，即證ln（1+a_n）+

1

2

a_n²-a_n＞0．
由（II）得f（x）=ln（1+x）+

1

2

x²-x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）=ln（1+x）+

1

2

x²-x＞f（0）=0，
∴f（a_n）=ln（1+a_n）+

1

2

a_n²-a_n＞0，即

an

bn

＜1成立．…（11分）
要證

2

an+2

＜

an

bn

，由a_n+2＞0，即證a_n²+2a_n＞2b_n，
即證a_n²+2a_n＞2ln（1+a_n）+a_n²，即證a_n＞ln（1+a_n）．
設(shè)g（x）=x-ln（1+x）（x＞0），g′(x)=1-

1

1+x

=

x

1+x

＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）＞g（0）=0，
從而a_n＞ln（1+a_n），即

2

an+2

＜

an

bn

成立．
綜上，

2

an+2

＜

an

bn

＜1．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查遞推數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．