Question

已知平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使

x

=

a

+（t²-3）

b

，

y

=-k

a

+t

b

且

x

⊥

y

．
（1）試求函數(shù)關系式k=f（t）；
（2）若t∈（0，+∞）時，不等式k≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)恒成立問題

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量模的計算公式、數(shù)量積定義、向量垂直與數(shù)量積的關系即可得出；
（2）當t∈（0，+∞）時，不等式k≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立，即當t∈（0，+∞）時，

1

2

t3-

3

2

t≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立，化為m≤2t²-2t-6，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出2t²-2t-6的最小值即可．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），
∴|

a

|=

( 3 )2+(-1)2

=2，|

b

|=

( 1 2 )2+( 3 2 )2

=1．

a

•

b

=

3

2

-

3

2

=0．
又

x

⊥

y

．
∴

x

•

y

=[

a

+（t²-3）

b

]•[-k

a

+t

b

]
=-k

a

2+t(t2-3)

b

2+[t-k(t2-3)]

a

•

b

=-k

a

2+t(t2-3)

b

2=0，
∴-2k+t（t²-3）=0，
∴k=

1

2

t3-

3

2

t．
（2）當t∈（0，+∞）時，不等式k≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立，即當t∈（0，+∞）時，

1

2

t3-

3

2

t≥

1

2

t²+

1

4

mt恒成立，
化為m≤2t²-2t-6，∵2t²-2t-6=2(t-

1

2

)2-

13

2

≥-

13

2

．當t=

1

2

時，取等號．
∴m≤-

13

2

．
∴實數(shù)m的取值范圍是(-∞，-

13

2

]．

點評：本題考查了向量模的計算公式、數(shù)量積定義、向量垂直與數(shù)量積的關系、分離參數(shù)法、不等式的轉(zhuǎn)化方法、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．