Question

如圖：某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點(diǎn)）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好．設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，EF分別落在線段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10

3

米，記∠BHE=θ．
（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）若sinθ+cosθ=

2

，求此時(shí)管道的長度L；
（3）已知：sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

）（公式）
問：當(dāng)θ取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長度．
（參考值：sin

π

12

=

6 - 2

4

；sin

5π

12

=

6 + 2

4

）

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）由∠BHE=θ，H是AB的中點(diǎn)，易得EH=

10

cosθ

，F(xiàn)H=

10

sinθ

，EF=

10

sinθ•cosθ

，由污水凈化管道的長度L=EH+FH+EF，則易將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數(shù)．
（2）若sinθ+cosθ=

2

，結(jié)合（1）中所得的函數(shù)解析式，代入易得管道的長度L的值．
（3）污水凈化效果最好，即為管道的長度最長，由（1）中所得的函數(shù)解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，易得結(jié)論．

解答： 解：（1）由∠BHE=θ，H是AB的中點(diǎn)，EH=

10

cosθ

，F(xiàn)H=

10

sinθ

，EF=

10

sinθ•cosθ

；
由于BE=10tanθ≤10

3

，且AF=10cotθ≤10

3

，故　θ∈[

π

6

，

π

3

]．
于是L=

10

sinθ

+

10

cosθ

+

10

sinθ•cosθ

．定義域：[

π

6

，

π

3

]-----------（4分）
（2）L=

10

sinθ

+

10

cosθ

+

10

sinθ•cosθ

=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθ•cosθ

由　sinθ+cosθ=

2

⇒（sinθ+cosθ）²=2
故　sinθ•cosθ=

1

2

所以　L=20(1+

2

)．----------------（6分）
（3）由L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθ•cosθ

．θ∈[

π

6

，

π

3

]
令sinθ+cosθ=t，則　sinθ•cosθ=

t2-1

2

．-------------（8分）
由sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)且θ∈[

π

6

，

π

3

]，
有t∈[

2

sin

5π

12

，

2

]即t∈[

1+ 3

2

，

2

]------------（10分）
又L=

20

t-1

在[

1+ 3

2

，

2

]上單調(diào)遞減于是 當(dāng) t=

1+ 3

2

時(shí)，L最大為20(

3

+1)．
此時(shí)，θ=

π

6

或θ=

π

3

答：當(dāng)θ=

π

6

或θ=

π

3

時(shí)，污水凈化效果最好．此時(shí)管道的長度為20(

3

+1)米．----------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型及解三角形，根據(jù)已知條件構(gòu)造出L關(guān)于θ的函數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．