Question

設函數f（x）=x²+ax+b，集合A={x|f（x）=x}={a}，求f（x）在[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

考點：二次函數在閉區(qū)間上的最值

專題：函數的性質及應用

分析：首先根據題中的已知條件建立方程，A={x|f（x）=x}={a}，說明方程有一根且根為a，進一步確定函數的解析式，求出對稱軸的方程，根據二次函數對稱軸固定區(qū)間不固定進行討論，進一步求得結果．

解答： 解：函數f（x）=x²+ax+b，集合A={x|f（x）=x}={a}
則：x²+ax+b=x
x²+（a-1）x+b=0
（a-1）²-4b=0 ①
a²+（a-1）a+b=0 ②
由①②可得：9a²-6a+1=0
解得：a=

1

3

  b=

1

9

函數f（x）=x2+

1

3

x+

1

9

=（x+

1

6

）²+

1

12

∴函數為開口方向向上，對稱軸方程為：x=-

1

6

①當t≤-

1

6

≤t+1時，即-

7

6

≤t≤-

1

6

 f(x)min=f(-

1

6

)=

1

12

②當-

1

6

＜t時，f(x)min=f(t)=t2+

1

3

t+

1

9

③當t+1＜-

1

6

時，即t＜-

7

6

，f(x)min=f(t+1)=t2+

7

3

t+

13

9

故答案為：①當t≤-

1

6

≤t+1時，即-

7

6

≤t≤-

1

6

 f(x)min=f(-

1

6

)=

1

12

②當-

1

6

＜t時，f(x)min=f(t)=t2+

1

3

t+

1

9

③當t+1＜-

1

6

時，即t＜-

7

6

，f(x)min=f(t+1)=t2+

7

3

t+

13

9

點評：本題考查的知識點：二次函數解析式的求法，二元一次方程有一根的條件，二次函數對稱軸固定區(qū)間不固定的討論及相關的運算問題．