Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），周期為4，且x∈（0，2）時(shí)，f（x）=

3x

9x+1

．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=

2

3x+2a

在x∈（0，2）上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x∈（-2，0），則-x∈（0，2），利用f（x）=-f（-x）和條件求出解析式，再由奇函數(shù)的性質(zhì)和周期性求出端點(diǎn)處的函數(shù)值；
（2）把方程f（x）=

2

3x+2a

化簡(jiǎn)后，t=3^x并求出t的范圍，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：方程t²-2at+2=0，t∈（1，9）有兩個(gè)不等實(shí)根，根據(jù)二次方程根的分布問(wèn)題列出不等式組，求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，奇函數(shù)f（x）=

3x

9x+1

，
設(shè)x∈（-2，0），則-x∈（0，2），
∴f(x)=-f(-x)=-

3x

9x+1

，
又∵f（x）即為奇函數(shù)，且周期為4，
∴f（0）=0，f（2）=f（-2）=0，
∴f(x)=

0，x=0或-2或2 3x 9x+1 ，0＜x＜2 - 3x 9x+1 ，-2＜x＜0

，
（2）由f（x）=

2

3x+2a

得，

3x

9x+1

=

2

3x+2a

，
化簡(jiǎn)得：（3^x）²-2a•（3^x）+2=0，
令t=3^x，得到t²-2at+2=0，t∈（1，9），
即方程t²-2at+2=0，t∈（1，9）有兩個(gè)不等實(shí)根，
令g（t）=t²-2at+2，∴

△=4a2-8≥0 1＜a＜9 g(1)=3-2a＞0 g(9)=83-18a＞0

，
解得

2

＜a＜

3

2

，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍：

2

＜a＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用，二次方程根的分布問(wèn)題，以及換元法，屬于中檔題．