Question

在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，則∠C的大小為（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  5

  6

  π
• C、

  π

  6

  或

  5

  6

  π
• D、

  π

  3

  或

  2

  3

  π

Answer 1

分析：把已知的兩等式兩邊平方后，左右相加，然后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、兩角和的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后即可得到sinC的值，利用特殊角的三角函數(shù)值及角C的范圍即可求出C的度數(shù)．

解答：解：由3sinA+4cosB=6①，3cosA+4sinB=1②，
①²+②²得：（3sinA+4cosB）²+（3cosA+4sinB）²=37，
化簡(jiǎn)得：9+16+24（sinAcosB+cosAsinB）=37，
即sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=

1

2

，又C∈（0，π），
所以∠C的大小為

π

6

或

5

6

π，
若C=

5

6

π，得到A+B=

π

6

，則cosA＞

3

2

，所以3cosA＞

3 3

2

＞1，
則3cosA+4sinB＞1與3cosA+4sinB=1矛盾，所以C≠

5

6

π，
所以滿足題意的C的值為

π

6

．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．本題也是一道易錯(cuò)題，學(xué)生容易選擇C，原因是沒(méi)有判斷角C為鈍角是不可能的．