Question

已知點(diǎn)F(0，1)，直線l：y=-l，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且，
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(Ⅱ)已知圓M過定點(diǎn)D(0，2)，圓心M在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)|DA|=l₁，|DB|=l₂，求的最大值。

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)P（x，y），則Q（x，-1），
∵，
∴ (0，y+l)·(-x，2)=(x，y-1)·(x，-2)，
即2(y+1)=x²-2(y-1)，即x²=4y，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程x²=4y。
(Ⅱ)設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為M(a，b)，則a²=4b ①，
圓M的半徑為，
圓M的方程為(x-a)²+(y-b)²=a²+(b-2)²，
令y=0，則(x-a)²+b²=a²+(b-2)²，
整理得，x²-2ax+4b-4=0， ②
由①，②解得：x=a±2，
不妨設(shè)A（a-2，0），B（a+2，0），
∴，
∴，   ③
當(dāng)a≠0時(shí)，由③得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
當(dāng)a=0時(shí)，由③，得；
當(dāng)時(shí)，的最大值為。