Question

11．已知x+y+z=1．
證明：（1）x²+y²+z²≥xy+yz+zx，
（2）x²+y²+z²≥$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，平方，通過重要不等式，轉化證明即可．
（2）利用平方化簡，結合（1）即可推出結果．

解答 （本題滿分12分）
證明：（1）∵x+y+z=1，∴（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）=1
又∵x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，z²+x²≥2xz，
∴2（x²+y²+z²）≥2（xy+yz+zx），
即x²+y²+z²≥xy+yz+zx，
（2）∵x+y+z=1，∴（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）=1
∴1=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）≤3（x²+y²+z²）．
∴x²+y²+z²≥$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查不等式的證明，綜合法的應用，考查邏輯推理能力．