已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足S5=3a5-2,a1,a2,a5成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=
1
anan+1
(n∈N*),Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,若an+1≥λTn,對任意正整數(shù)n都成立,求實數(shù)λ的取值范圍.
考點:數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由題意聯(lián)立方程組,由此求出等差數(shù)列的首項和公差,從而能夠求出數(shù)列{an}的通項公式.
(2)由(1)可得bn=
1
anan+1
=
25
(2n-1)(2n+1)
=
25
2
1
2n-1
-
1
2n+1
),Tn=
25
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)=
25
2
(1-
1
2n+1
)=
25n
2n+1
,
an+1≥λTn,對任意正整數(shù)n都成立,即-
2n+1
5
≥λ•
25n
2n+1
對任意正整數(shù)n都成立,即λ≤-
4n2+4n+1
125n
,對任意正整數(shù)n都成立,令f(n)=-
4n2+4n+1
125n
,利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值,即可得出結論.
解答: 解:(1)S5=3a5-2,所以5a1+
5×4×d
2
=3(a1+4d)-2.①
因為a1,a2,a5成等比數(shù)列,所以a1(a1+4d)=(a1+d)2.②
由①,②及d≠0可得:a1=1,d=2.
所以an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)bn=
1
anan+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1
),
∴Tn=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
,
∵an+1≥λTn,對任意正整數(shù)n都成立,
即2n+1≥λ•
n
2n+1
對任意正整數(shù)n都成立,
即λ≤
4n2+4n+1
n
,對任意正整數(shù)n都成立,
令f(n)=
4n2+4n+1
n
,則f(n)=8-
1
n2
>0,
∴f(n)≥f(1)=9,
∴λ≤9.
∴實數(shù)λ的取值范圍是(-∞,9].
點評:本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用,考查恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化思想的運用能力.解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.屬于中檔題.
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