Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=2，S_n+1=3S_n+n²+2（n∈N^*），設(shè)b_n=a_n+n，
（1）證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）若c_n=

n

bn

，T_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，求證：T_n＜

4

5

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式

分析：（1）首先根據(jù)遞推關(guān)系是求出Sn=3Sn-1+(n-1)2+2，進(jìn)一步求出a_n+1=3a_n+2n-1，最后利用頂一發(fā)來進(jìn)行證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）由（1）的結(jié)論進(jìn)一步求出bn=3n，從而得出cn=

n

3n

，利用錯位相減法求數(shù)列的前n項的和，最后用放縮法求的結(jié)果．

解答： （1）證明：S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且S_n+1=3S_n+n²+2（n∈N^*）①，
則：Sn=3Sn-1+(n-1)2+2②
②-①得：a_n+1=3a_n+2n-1，
設(shè)b_n=a_n+n，
所以：

bn+1

bn

=

an+1+n+1

an+n

=

3an+3n

an+n

=3，（常數(shù)）
所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）證明：由（1）數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
求得：bn=b13n-1=3n，
cn=

n

bn

=

n

3n

，
T_n=c₁+c₂+…+c_n-1+c_n=

1

31

+

2

32

+…+

n-1

3n-1

+

n

3n

，③

1

3

Tn=

1

32

+

2

33

+…+

n-1

3n

+

n

3n+1

，④
③-④得：

2

3

Tn=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

，
T_n=

3

4

(1-

1

3n

)-

n

2•3n

＜

3

4

＜

4

5

，
即：T_n＜

4

5

．

點評：本題考查的知識要點：用定義法證明等比數(shù)列，錯位相減法的應(yīng)用，放縮法的應(yīng)用．