Question

【題目】設函數(a，bR).

（1）當b＝﹣1時，函數有兩個極值，求a的取值范圍；

（2）當a＋b＝1時，函數的最小值為2，求a的值；

（3）對任意給定的正實數a，b，證明：存在實數，當時，.

Answer 1

【答案】（1）(，0)（2）或（3）證明見解析；

【解析】

（1）當時，，求導，則，解出即可；

（2）當時，，求導后，分類討論得函數的單調性與最值，由此可求出答案；

（3）對任意給定的正實數a，b，有，設，設，x＞0，求導后易求得，又由，得，由此可得出答案．

解：（1）當時，，

∴，

若函數有兩個極值，則，解得，

故a的取值范圍是(，0)；

（2）當時，，

∴，

當a≤0時，，∴是(0，)上的減函數，

∴函數無最小值，舍去；

當a＞0時，由得，，

∴在(0，)上單調遞減，在(，)上單調遞增，

∴函數的最小值為，

由，得，

解得或；

（3）對任意給定的正實數a，b，有，

設，

設，x＞0，則，z

易知當x＝4時，，故，

又由，得，

對于任意給定的正實數a，b，取為與4中的較大者，

則當時，恒有，即當時，．