Question

（本小題滿分12分）(原創(chuàng)題)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知，若實(shí)數(shù)使向量。

（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并判斷點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線；

（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與此時(shí)（1）中的曲線相交的另一點(diǎn)為，能否在直線上找一點(diǎn)，使為正三角形（請(qǐng)說(shuō)明理由）。

Answer 1

當(dāng)時(shí)，方程為，P的軌跡是圓。

當(dāng)，即時(shí)，方程為，點(diǎn)的軌跡是雙曲線。

當(dāng)，即=±1時(shí)，方程為，點(diǎn)的軌跡是射線。,在直線上找不到點(diǎn)滿足條件

解析:

解：（1）由已知可得，,,,

∵，∴

即點(diǎn)的軌跡方程

當(dāng)，且，即時(shí)，有，

∵，∴，∴

∴P點(diǎn)的軌跡是點(diǎn)為長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)在軸上的橢圓�！�3分

當(dāng)時(shí)，方程為，P的軌跡是圓。

當(dāng)，即時(shí)，方程為，點(diǎn)的軌跡是雙曲線。

當(dāng)，即=±1時(shí)，方程為，點(diǎn)的軌跡是射線�！�6分

（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為,

當(dāng)時(shí)，曲線方程為，

由（1）知，其軌跡為以為長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)在軸上的橢圓。

因直線過(guò)

所以，點(diǎn)B不存在。

所以，在直線上找不到點(diǎn)滿足條件。           …………………………12分