Question

（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)的定義域為R，當時，，且對任意，都有，且。

（1）求的值；

（2）證明：在R上為單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）若有不等式成立，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）， ；（2）的取值范圍是。

【解析】本題主要考查了抽象函數(shù)表達式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達式的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義及其證明，利用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法。

（1）利用賦值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，令x=y=1，即可求得f（1）的值；

（2）先證明0＜f（x）＜1，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用抽象表達式和已知函數(shù)性質(zhì)證明f（x₁）＜f（x₂），即可得證；

（3）利用抽象表達式，先將不等式化為f(x+1+ )＜f(1)，再利用函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式即可得解集。

解（1）因為，所以，所以，又因為，且當時，，所以

（2）當時，，所以，而，所以，所以，對任意的，當時，有

，因為，所以，所以，即，所以，即，所以在R上是單調(diào)遞增函數(shù)（3）因為，所以，而在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即：，所以，所以，所以的取值范圍是