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（12分）已知橢圓.過點作圓的切線交橢圓于
，兩點.
（1）求橢圓的焦點坐標和離心率；
（2）將表示為的函數，并求的最大值.

（1）橢圓G的焦點坐標為離心率為
（2）當時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.

解析試題分析：(1)由橢圓的標準方程可知a=2,b=1,,顯然易求焦點坐標及離心率，但要注意焦點在x軸上.
（2）因為過點(m,0)作圓的切線，所以此點在圓上或在圓外，因而要對m的范圍進行討論.
然后設過點(m,0)的直線l的方程，根據直線l與圓相切，可得直線l的斜率，再與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理和判別式，弦長公式求得弦長|AB|與m的函數關系式，再利用基本不等式求得最大值.
（1）由已知得所以
所以橢圓G的焦點坐標為離心率為
（2）由題意知，.
當時，切線的方程，點A、B的坐標分別為
此時當m=－1時，同理可得
當時，設切線的方程為
由
設A、B兩點的坐標分別為，則

又由與圓
所以

由于當時，所以.
因為且當時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.
考點：橢圓的標準方程及性質，直線與圓的位置關系，直線與橢圓的位置關系，弦長公式，基本不等式求最值.
點評：本小題第（2）問綜合性解決起來難度大，第一個要注意的時點(m,0)在圓上或圓外，因而要對m=1,m=-1,|m|>1三情況進行討論求|AB|的弦長，表示出弦長|AB|關于m的函數表達式后還要注意適用基本不等式求最值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（12分）已知橢圓C：以雙曲線的焦點為頂點，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C的左、右頂點分別為點A，B，點M是橢圓C上異于A，B的任意一點．
①求證：直線MA，MB的斜率之積為定值；
②若直線MA，MB與直線x＝4分別交于點P，Q，求線段PQ長度的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點和，長軸長6，設直線交橢圓于，兩點，求線段的中點坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

斜率為k的直線過點P（0，1），與雙曲線交于A，B兩點. 
（1）求實數k的取值范圍；
（2）若以AB為直徑的圓過坐標原點，求k的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（12分）（12分）經過點作直線交雙曲線于、兩點，且 為 中點.
（1）求直線的方程 ；（2）求線段的長.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設橢圓的左、右頂點分別為、，點在橢圓上且異于、兩點，為坐標原點.
（1）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；
（2）對于由(1)得到的橢圓，過點的直線交軸于點，交軸于點，若，求直線的斜率.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的焦點F1（－，0）和F2（，0），長軸長6。
(1)求橢圓C的標準方程。
(2)設直線交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本題滿分14分）
設直線與拋物線交于不同兩點A、B，F為拋物線的焦點。
（1）求的重心G的軌跡方程；
（2）如果的外接圓的方程。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為，離心率為.
(1)若,求橢圓的方程; (2)設直線與橢圓相交于兩點,分別為線段的中點.若坐標原點在以為直徑的圓上,且,求的取值范圍.

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