已知p1,p2，q1,q2∈R,且p1p2=2(q1+q2).

求證：方程x2+p1x+q1=0和x2+p2x+q2=0中，至少有一個方程有實根.

分析：“至少有一個”是“有一個”“有兩個”，它的反面是“一個都沒有”.

證明：假設這兩個一元二次方程都沒有實根，那么它們的判別式都小于0，即

∴p12+p22＜4(q1+q2).

把p1p2=2(q1+q2)代入上式，得p12+p22-2p1p2＜0,即（p1-p2）2＜0.

這與“任何實數(shù)的平方為非負數(shù)”相矛盾，所以假設不成立.

故這兩個方程中，至少有一個方程有實根.

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題p1：函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù)，p2：函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù)，則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2；q3：（￢p1）∨p2；q4：p1∨（￢p2）；其中為真命題的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•楊浦區(qū)一模）已知△OAB，
OA
=
a
，
OB
=
b
，|
a
|=
2
，|
b
|=
3
，
a
•
b
=1，邊AB上一點P1，這里P1異于A、B．由P1引邊OB的垂線P1Q1，Q1是垂足，再由Q1引邊OA的垂線Q1R1，R1是垂足．又由R1引邊AB的垂線R1P2，P2是垂足．同樣的操作連續(xù)進行，得到點　Pn、Qn、Rn（n∈N*）．設 
APn
=tn(
b
-
a
)(0＜tn＜1），如圖．
（1）求|
AB
|的值；
（2）某同學對上述已知條件的研究發(fā)現(xiàn)如下結論：
BQ1
=-
2
3
(1-t1)
b
，問該同學這個結論是否正確？并說明理由；
（3）用t1和n表示tn．

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科目：高中數(shù)學 來源：學習周報　數(shù)學　北師大課標高二版(選修2－2)　2009－2010學年　第28期　總第184期 北師大課標 題型：047

已知p1，p2，q1，q2∈R，且p1p2＝2(q1＋q2)，求證：方程x2＋p1x＋q1＝0和方程x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一個方程有實根．

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已知p1，p2，q1，q2∈R，且p1p2＝2(q1＋q2)，求證：方程x2＋p1x＋q1＝0和方程x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一個方程有實根．

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