Question

已知

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0）．若f（x）=

m

•

n

，且f（x）相鄰兩對稱軸間的距離不小于

π

2

．
（1）求ω的取值范圍；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a=

3

，b+c=3（b＞c），當(dāng)ω取最大時，f（A）=1，求邊b，c的長．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，借助于平面向量的數(shù)量積運算，同時，結(jié)合二倍角和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，然后，根據(jù)周期的限制條件，得到ω的取值范圍；
（2）首先，確定A的取值，然后，結(jié)合余弦定理，求解邊b，c的長．

解答： 解：（1）∵f（x）=

m

•

n

，即：

f(x)=cos2ωx-sin2ωx+2 3 cosωxsinωx =cos2ωx+ 3 sin2ωx=2sin(2ωx+ π 6 )

，
由題意：

π

2ω

≥

π

2

，
∵ω＞0，∴0＜ω≤1．             
（2）∵ω的最大值是1，
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
∵f（A）=1，∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
而

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，∴2A+

π

6

=

5

6

π，∴A=

π

3

．  
由余弦定理：cosA=

1

2

=

b2+c2-a2

2bc

，
即b²+c²-bc=3，又b+c=3（b＞c）
聯(lián)立解得：b=2，c=1．

點評：本題重點考查二倍角公式、輔助角公式，兩角和與差的三角公式，余弦定理等知識，考查比較綜合，屬于中檔題．