Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=2，AB=4，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證：平面DD₁E⊥平面CD₁E；
（Ⅱ）求直線BC與平面CD₁E所成角的正弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）通過計算證得CE⊥DE，再由D₁D⊥CE，則CE⊥面D₁DE，由面面垂直的判定定理，即可得證；
（Ⅱ）過B作BH⊥面CED₁，垂足為H，連接CH，則∠BCH為直線BC與平面CD₁E所成角．由V_B-CD1E=V_D1-BCE，可求出高BH，即可求出所成角的正弦．

解答： （Ⅰ）證明：在矩形ABCD中，E為AB的中點，AD=2，AB=4，
∴DE=CE=2

2

，
∵CD=4，∴CE⊥DE，
∵D₁D⊥面ABCD，∴D₁D⊥CE，
∴CE⊥面D₁DE，
又CE?面CED₁，
∴平面DD₁E⊥平面CD₁E；
（Ⅱ）過B作BH⊥面CED₁，垂足為H，連接CH，
則∠BCH為直線BC與平面CD₁E所成角．
∵CE⊥面D₁DE，∴CE⊥D₁E，
在直角△D₁DE中，D₁E=2

3

，
由V_B-CD1E=V_D1-BCE，
則

1

3

S_△CD1E•BH=

1

3

S_△BCE•D₁D，
即

1

2

×2

2

×2

3

•BH=

1

2

×4×2，解得BH=

6

3

，
故直線BC與平面CD₁E所成角的正弦值為

6 3

2

=

6

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)、平面與平面垂直的判定定理，考查直線與平面所成的角，考查等積法，求三棱錐的高，考查運算能力，屬于中檔題．